Factorización: Trinomio cuadrado perfecto (TCP)

Canal: asesoriasdematecom   |   2010/08/13
Play Video
1
Factorización: Trinomio cuadrado perfecto (TCP)
Factorización: Trinomio cuadrado perfecto (TCP)
::2010/08/13::
Play Video
2
Factorización: Trinomio Cuadrado Perfecto
Factorización: Trinomio Cuadrado Perfecto
::2010/01/26::
Play Video
3
Casos de factorización: Trinomio cuadrado perfecto 1
Casos de factorización: Trinomio cuadrado perfecto 1
::2012/10/30::
Play Video
4
Cuadrados Perfectos y Raiz Cuadrada
Cuadrados Perfectos y Raiz Cuadrada
::2011/09/24::
Play Video
5
Binomio Cuadrado perfecto: presentacion
Binomio Cuadrado perfecto: presentacion
::2012/05/30::
Play Video
6
Trinomio cuadrado perfecto - HD
Trinomio cuadrado perfecto - HD
::2010/11/22::
Play Video
7
Caso tres - Trinomio cuadrado perfecto ejemplo 01
Caso tres - Trinomio cuadrado perfecto ejemplo 01
::2007/11/30::
Play Video
8
Completando el trinomio cuadrado perfecto para resolver una ecuación cuadrática. Ejemplo 4
Completando el trinomio cuadrado perfecto para resolver una ecuación cuadrática. Ejemplo 4
::2013/07/30::
Play Video
9
Cómo completar un trinomio cuadrado perfecto. Parte 1
Cómo completar un trinomio cuadrado perfecto. Parte 1
::2013/09/24::
Play Video
10
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
::2011/10/27::
Play Video
11
Caso 3: Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto
Caso 3: Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto
::2011/09/15::
Play Video
12
Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto-Factoring a perfect square trinomial
Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto-Factoring a perfect square trinomial
::2009/08/16::
Play Video
13
Factorización: Trinomio Cuadrado Perfecto por  Adición y Sustracción
Factorización: Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción
::2012/08/15::
Play Video
14
Solución de una ecuación de segundo grado completando el trinomio cuadrado perfecto. Ejemplo 1
Solución de una ecuación de segundo grado completando el trinomio cuadrado perfecto. Ejemplo 1
::2013/07/30::
Play Video
15
Factorizar un Trinomio cuadrado perfecto con fracciones
Factorizar un Trinomio cuadrado perfecto con fracciones
::2013/01/28::
Play Video
16
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION.avi
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION.avi
::2011/06/07::
Play Video
17
Caso 4 de Factorización: Trinomio Cuadrado Perfecto
Caso 4 de Factorización: Trinomio Cuadrado Perfecto
::2012/06/27::
Play Video
18
Integrales - Identificación por Trinomio Cuadrado Perfecto 4
Integrales - Identificación por Trinomio Cuadrado Perfecto 4
::2013/06/11::
Play Video
19
Origami para principiantes: #3 Como hacer un cuadrado perfecto
Origami para principiantes: #3 Como hacer un cuadrado perfecto
::2013/02/02::
Play Video
20
Factorización de Trinomio Cuadrado Perfecto
Factorización de Trinomio Cuadrado Perfecto
::2011/03/15::
Play Video
21
completación trinomio cuadrado perfecto
completación trinomio cuadrado perfecto
::2011/09/29::
Play Video
22
Casos de factorización: Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción 1
Casos de factorización: Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción 1
::2012/10/30::
Play Video
23
Combinación de trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados
Combinación de trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados
::2011/10/31::
Play Video
24
Caso 5 de factorización: Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción
Caso 5 de factorización: Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción
::2013/10/07::
Play Video
25
Completando un trinomio cuadrado perfecto
Completando un trinomio cuadrado perfecto
::2011/05/07::
Play Video
26
factorización por completación del trinomio cuadrado perfecto
factorización por completación del trinomio cuadrado perfecto
::2011/10/05::
Play Video
27
Ecuaciones Cuadráticas Completas Método De Completar Un Trinomio Cuadrado Perfecto (Parte 1)
Ecuaciones Cuadráticas Completas Método De Completar Un Trinomio Cuadrado Perfecto (Parte 1)
::2013/04/10::
Play Video
28
Integrales - Identificación por Trinomio Cuadrado Perfecto
Integrales - Identificación por Trinomio Cuadrado Perfecto
::2013/06/10::
Play Video
29
Casos de factorización: Trinomio cuadrado perfecto combinado con diferencia de cuadrados 1
Casos de factorización: Trinomio cuadrado perfecto combinado con diferencia de cuadrados 1
::2012/10/30::
Play Video
30
Ecuaciones Cuadráticas- Metodo Completando el Trinomio Cuadrado Perfecto
Ecuaciones Cuadráticas- Metodo Completando el Trinomio Cuadrado Perfecto
::2013/01/17::
Play Video
31
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
::2011/01/10::
Play Video
32
Casos de factorización: Trinomio cuadrado perfecto 2
Casos de factorización: Trinomio cuadrado perfecto 2
::2012/10/30::
Play Video
33
Caso tres - Trinomio cuadrado perfecto ejemplo 02
Caso tres - Trinomio cuadrado perfecto ejemplo 02
::2007/11/30::
Play Video
34
Factorización de Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción, Ejercicio 1
Factorización de Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción, Ejercicio 1
::2012/08/15::
Play Video
35
Trinomio cuadrado perfecto. Problema 1 de 15
Trinomio cuadrado perfecto. Problema 1 de 15
::2012/12/17::
Play Video
36
Factorización: Diferencia de Cuadrados Perfectos 01
Factorización: Diferencia de Cuadrados Perfectos 01
::2010/01/26::
Play Video
37
Tercer Caso de Factoreo : Trinomio al Cuadrado Perfecto
Tercer Caso de Factoreo : Trinomio al Cuadrado Perfecto
::2011/09/24::
Play Video
38
Cuadrado de un binomio-Square of a binomial
Cuadrado de un binomio-Square of a binomial
::2009/09/02::
Play Video
39
FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO EJERCICIOS RESUELTOS.flv
FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO EJERCICIOS RESUELTOS.flv
::2012/10/20::
Play Video
40
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO - Ejercicios resueltos 01
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO - Ejercicios resueltos 01
::2013/09/25::
Play Video
41
Factorizacion Caso V   Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción
Factorizacion Caso V Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción
::2011/03/02::
Play Video
42
CASO ESPECIAL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO - FACTORIZACIÓN
CASO ESPECIAL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO - FACTORIZACIÓN
::2013/09/29::
Play Video
43
Combinación de trinomio cuadrado perfecto con diferencia de cuadrados perfectos N°2
Combinación de trinomio cuadrado perfecto con diferencia de cuadrados perfectos N°2
::2013/12/30::
Play Video
44
BINOMIO CUADRADO PERFECTO
BINOMIO CUADRADO PERFECTO
::2012/11/26::
Play Video
45
Casos de factorización: Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción 2
Casos de factorización: Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción 2
::2012/10/31::
Play Video
46
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
::2013/04/30::
Play Video
47
Completacion de un trinomio cuadrado perfecto
Completacion de un trinomio cuadrado perfecto
::2013/05/19::
Play Video
48
Productos  Notables 1 trinomio cuadrado perfecto
Productos Notables 1 trinomio cuadrado perfecto
::2012/10/26::
Play Video
49
Factor común, trinomio cuadrado perfecto, suma y diferencia de cubos perfectos
Factor común, trinomio cuadrado perfecto, suma y diferencia de cubos perfectos
::2013/07/26::
Play Video
50
Resolución de ecuaciones cuadraticas: completando el TCP
Resolución de ecuaciones cuadraticas: completando el TCP
::2010/08/13::
SIGUIENTE >>
RESULTADOS [51 .. 101]
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

Un número cuadrado perfecto en matemáticas, o un número cuadrado, es un número entero que es el cuadrado de algún otro; dicho de otro modo, es un número cuya raíz cuadrada es un número entero.

Un número es un cuadrado perfecto si se puede «ordenar» en una figura cuadrada. Por ejemplo, 9 es un número cuadrado perfecto ya que puede ser escrito como 3 × 3, y se puede ordenar del siguiente modo:

32 = 9 Square number 9.png

Un número entero positivo que no tiene divisores cuadrados (excepto el 1) se denomina número libre de cuadrados.

Propiedades[editar]

La fórmula más general para el n-ésimo número cuadrado es n2. Este resultado es también igual a la suma de los primeros n números impares, tal y como puede verse en la siguiente fórmula:


   n^2 =
   \sum_{k=1}^n \; (2k-1)
  • Ejemplo:

   5^2 =
   \sum_{k=1}^5 \; (2k-1) =
   1 + 3 + 5 + 7 + 9 =
   25

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange establece que cualquier número entero positivo puede ser escrito como la suma de cuatro perfectos cuadrados. Tres cuadrados no son suficientes para ser representados como números de la forma 4k(8m + 7). Un número positivo puede ser representado como una suma de dos cuadrados precisamente si la factorización en números primos no contiene potencias impares de la forma 4k + 3. Esta es una generalización del problema de Waring.

  1. Si el último dígito de un número es 0, su cuadrado acaba en 00 y los precedente dígitos deben ser también un cuadrado.
  2. Si el último dígito de un número es 1 o 9, su cuadrado acaba en 1 y el número formado por su precedente debe ser divisible por cuatro.
  3. Si el último dígito de un número es 2 u 8, su cuadrado acaba en 4 y el precedente dígito debe ser un número par.
  4. Si el último dígito de un número es 3 o 7, su cuadrado acaba en el dígito 9 y el número formado por su precedentes dígitos debe ser divisible entre cuatro.
  5. Si el último dígito de un número es 4 o 6, su cuadrado acaba en 6 y el precedente dígito debe ser impar.
  6. Si el último dígito de un número es 5, su cuadrado acaba en 25 y los precedentes dígitos deben ser 0, 2, 06, o 56.

Ejemplos[editar]

12 = 1 Square number 1.png
22 = 4 Square number 4.png
32 = 9 Square number 9.png
42 = 16 Square number 16.png
52 = 25 Square number 25.png

Los primeros 50 cuadrados perfectos son:

02 = 0 ((sucesión A000290 en OEIS))
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401
502 = 2500
512 = 2601


Cuadrados siguientes y anteriores a otro[editar]

Puede calcularse un cuadrado a partir del anterior o del anterior cuadrado par/impar respecto de uno dado.

  • La distancia entre un cuadrado y el siguiente, resulta de sumar al cuadrado primero, 2 veces el lado del siguiente y restarle 1: Si para 42 = 16, para 52 = 42 + (2 * 5) - 1 = 16 + 10 - 1 = 25

Ejemplos:

cuadrado 0, calcular cuadrado 1: 00 + (2 * 1) - 1) = 00 + 02 -1 = 00 + 01 = 01
cuadrado 1, calcular cuadrado 2: 01 + (2 * 2) - 1) = 01 + 04 -1 = 01 + 03 = 04
cuadrado 2, calcular cuadrado 3: 04 + (2 * 3) - 1) = 04 + 06 -1 = 04 + 05 = 09
cuadrado 3, calcular cuadrado 4: 09 + (2 * 4) - 1) = 09 + 08 -1 = 09 + 07 = 16
cuadrado 4, calcular cuadrado 5: 16 + (2 * 5) - 1) = 16 + 10 -1 = 16 + 09 = 25
cuadrado 5, calcular cuadrado 6: 25 + (2 * 6) - 1) = 25 + 12 -1 = 25 + 11 = 36
cuadrado 6, calcular cuadrado 7: 36 + (2 * 7) - 1) = 36 + 14 -1 = 36 + 13 = 49


  • La distancia entre un cuadrado y 2 más adelante, resulta de sumar al cuadrado primero, 4 veces el (lado deseado -1): Si para 42 = 16, para 62 = 42 + (4 * (6-1)) = 16 + 20 = 36

Ejemplos:

cuadrado 0, calcular cuadrado 2: 00 + (4 * (2 - 1) = 00 + 04 = 04
cuadrado 2, calcular cuadrado 4: 04 + (4 * (4 - 1) = 04 + 12 = 16
cuadrado 4, calcular cuadrado 6: 16 + (4 * (6 - 1) = 16 + 20 = 36
cuadrado 6, calcular cuadrado 8: 36 + (4 * (8 - 1) = 36 + 28 = 64

cuadrado 1, calcular cuadrado 3: 01 + (4 * (3 - 1) = 01 + 08 = 09
cuadrado 3, calcular cuadrado 5: 09 + (4 * (5 - 1) = 09 + 16 = 25
cuadrado 5, calcular cuadrado 7: 25 + (4 * (7 - 1) = 25 + 24 = 49


Ambos casos resultan de interés con números muy grandes, para hallar en bucles el siguiente cuadrado o el siguiente cuadrado de lado par/impar, especialmente en computación donde las sumas son mucho menos costosas que las multiplicaciones y las multiplicaciones por potencias de 2 pueden ser realizadas con instrucciones de desplazamiento de bits. A su vez las multiplicaciones ('2 * x' ó por '4 * x' según el caso), dentro de un bucle puede mantenerse como una suma si se guarda el valor previo de suma. Fíjese como en ambos casos a la derecha del todo, el siguiente cuadrado, para ambos casos se resuelven con sumas.

La operación a la inversa es fácilmente deducible, es decir hallar el cuadrado anterior a otro dado.

  • La distancia entre un cuadrado y el anterior, resulta de restar al cuadrado primero, 2 veces el lado actual y sumarle 1: Si para 62 = 36, para 52 = 62 - (2 * 6) + 1 = 36 - 12 + 1 = 25


  • La distancia entre un cuadrado y 2 más atrás, resulta de restar al cuadrado, 4 veces el (lado actual -1): Si para 62 = 36, para 42 = 62 - (4 * (6-1)) = 36 - 20 = 16

Cuadrados como sumas[editar]

El n-ésimo número cuadrado puede ser calculado del resultado obtenido en las dos anteriores posiciones y al que se le añade el (n − 1)-ésimo cuadrado de sí mismo, sustrayendo el (n − 2)-enésimo cuadrado, y añadiendo 2 (n^2 = 2(n-1)^2-(n-2)^2+2). Por ejemplo, 2×52 − 42 + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62.

Es a menudo útil notar que el cuadrado de cualquier número puede ser representado como la suma 1 + 1 + 2 + 2 +... + n − 1 + n − 1 + n. Por ejemplo, el cuadrado de 4 o 42 es igual a 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16. Este es el resultado de añadir una columna y columna de grosor uno al grafo cuadrado de lado tres (como en un tablero de tres en raya). Se puede añadir también tres lados y cuatro a la parte superior para obtener un cuadrado. Esto puede ser también útil para encontrar el cuadrado de un número grande de forma inmediata. Por ejemplo, el cuadrado de 52 = 502 + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704. Es más fácil así:1572=1502 + 7 sumandos que buscamos a continuación: 150+151= 301. Es el primer sumando y los demás son mas fácil de encontrar,303, 305,307, 309, 311, 313. Conclusión 22500+ 301+ 303 + 305 +307 + 309 + 311 + 313 = 24649

Un número cuadrado puede ser considerado también como la suma de dos números triangulares consecutivos . La suma de dos números cuadrados consecutivos es un número cuadrado centrado. Cada cuadrado impar es además un número octogonal centrado.

Números cuadrados pares e impares[editar]

El cuadrado de un número par siempre es par (de hecho es divisible por 4), ya que (2n)2 = 4n2.

El cuadrado de un número impar siempre es impar, ya que (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.

De esto se sigue que la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto par siempre es par, y la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto impar siempre es impar. Este hecho se emplea mucho en las demostraciones (véase raíz cuadrada de 2).

Construcción de cuadrados perfectos[editar]

  1. El producto de dos pares consecutivos aumentado en 1 es cuadrado perfecto. Ejemplo: 52·54 + 1 = 2809, cuadrado de 53. [1] .
  2. El producto de dos impares consecutivos más 1 es un cuadrado perfecto. Por ejemplo, 95·97 + 1 = 9216. En los dos casos hallamos el cuadrado de la media aritmética de los factores.
  3. El producto de cuatro enteros consecutivos aumentado en 1 es un cuadrado perfecto [2] . Por ejemplo 13·14·15·16 + 1 = 43681, cuadrado de 209.
  4. El producto de un múltiplo de un número por el múltiplo transconsecutivo del mismo más el cuadrado del generador es cuadrado perfecto. Por ejemplo, 7, 14, 21, 28, 35 son múltiplos de 7. Luego 21·35 + 49 = 784, cuadrado de 28.[3]

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Se comprueba multiplicando sus formas típicas y al producto se suma 1
  2. Róbinson Castro: Álgebra moderna e introducción a geometría algebraica (2013)
  3. Castro: Ibídem

}

Bibliografía[editar]

  • Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X

Enlaces externos[editar]

Licencias para uso de contenido de Wikipedia: GFDL License
Powered by YouTube