Triple producto escalar y Triple producto vectorial

Canal: herleo   |   2012/05/19
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Doble producto vectorial de tres vectores a, b y c.

Llamamos doble producto vectorial (o también triple producto vectorial) de tres vectores a la expresión \,\mathbf A \times \left(\mathbf B \times \mathbf C \right)   o  \,\left(\mathbf A \times \mathbf B \right) \times \mathbf C ; esto es, el producto vectorial de dos vectores se multiplica vectorialmente por un tercer vector.

Para calcular el doble producto vectorial se utiliza la siguiente fórmula:

\,
\mathbf A \times \left(\mathbf B \times \mathbf C \right) =
\mathbf B \left( \mathbf A \cdot\mathbf C\right)-
\mathbf C \left( \mathbf A \cdot\mathbf B\right)

demostrada más adelante.

Propiedades[editar]

Regla del Chanchito para doble producto vectorial de tres vectores a, b y c.
  • Según la fórmula, \mathbf A \times \left(\mathbf B \times \mathbf C \right) es un vector contenido en el plano definido por los vectores B y C.
  • Evidentemente, el producto vectorial no tiene la propiedad asociativa, ya que es antisimétrico (o anticonmutativo).

El vector

\,
\left(\mathbf A \times \mathbf B \right)\times \mathbf C  =
-\mathbf C \times \left(\mathbf A \times \mathbf B \right) =
\mathbf B \left( \mathbf A \cdot\mathbf C\right)-
\mathbf A \left( \mathbf B \cdot\mathbf C\right)

está contenido en el plano definido por los vectores A y B, por lo que, en general, será

\,
\mathbf A \times \left(\mathbf B \times \mathbf C \right) \neq
\left(\mathbf A \times \mathbf B \right)\times \mathbf C

con lo cual resulta fundamental la colocación de los paréntesis.

\mathbf A \times (\mathbf B \times \mathbf C ) + \mathbf C \times (\mathbf A \times \mathbf B ) + \mathbf B \times (\mathbf C \times \mathbf A ) = 0

Notación de Levi-Civita[editar]

Con la notación de Levi-Civita, el doble producto vectorial se expresa en la forma

\,
\mathbf{A} \times (\mathbf{B}\times \mathbf{C}) =
\varepsilon_{ijk} A^j \varepsilon_{k\ell m} B^\ell C^m = 
\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{k\ell m} A^j  B^\ell C^m

Estas fórmulas son muy útiles a la hora de simplificar un vector en física. Por ejemplo, una igualdad relacionada con los gradientes, y muy útil en el cálculo de vectores es:

\begin{align} \nabla \times (\nabla \times \mathbf{f}) & {}= \nabla (\nabla \cdot \mathbf{f} ) - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f} \\ & {}= \mbox{grad }(\mbox{div } \mathbf{f} ) - \mbox{laplaciano } \mathbf{f}. \end{align}

Esto también puede ser considerado como un caso especial del más conocido como operador de Laplace-deRham: Δ = dδ + δd.

Demostración[editar]

Gráfico tridimensional del doble producto vectorial A x (B x C)

Sea \mathbf A \times \left(\mathbf B \times \mathbf C \right) el doble producto vectorial buscado, se puede llegar a una expresión que esté en función de estos mismos vectores. Podemos notar en la figura que el vector resultante estará incluido en el plano que forman los vectores B y C, cualquiera sea la dirección de A. Entonces, se puede descomponer al vector \mathbf A\times(\mathbf B\times\mathbf C) en una componente paralela a B y otra paralela a C.

(1)\mathbf A\times(\mathbf B\times\mathbf C)=\mathbf B x+\mathbf C y\quad x,y\in\mathbb R\quad

Para facilitar la demostración primero se supondrá \mathbf B\bot\mathbf C; luego la fórmula se ampliará de forma general. Por ahora, efectuamos producto escalar por el vector B en (1):

\mathbf B\cdot[\mathbf A\times(\mathbf B\times\mathbf C)]=\mathbf B\cdot(\mathbf B x+\mathbf C y)

Aplicamos propiedad distributiva en el segundo miembro (recordemos que B.C = 0 por ser perpendiculares):

\mathbf B\cdot(\mathbf B x+\mathbf C y)=\mathbf B\cdot \mathbf B x+\mathbf B\cdot \mathbf C y=\left |\mathbf B\right |^2x

El primer miembro es un producto mixto y, como tal, puede intercambiar sus factores de esta manera:

\mathbf B\cdot[\mathbf A\times(\mathbf B\times\mathbf C)]=\mathbf A\cdot[(\mathbf B\times\mathbf C)\times\mathbf B]

Igualando las expresiones anteriores se tiene:

(2)\mathbf A\cdot[(\mathbf B\times\mathbf C)\times\mathbf B]=\left |\mathbf B\right |^2 x\quad

El producto (\mathbf B\times\mathbf C)\times\mathbf B da como resultado un vector en la misma dirección y sentido que C (ver figura). Si averiguamos el módulo de este producto obtenemos:

\left | (\mathbf B\times\mathbf C)\times\mathbf B\right |=\left | (\mathbf B\times\mathbf C)\right | . \left | \mathbf B \right | . \sen {\pi\over 2}=\left | \mathbf B\right | . \left | \mathbf C\right | . \sen {\pi\over 2} . \left | \mathbf B \right | . 1=\left |  \mathbf B \right |^2 . \left | \mathbf C \right |

Como (\mathbf B\times\mathbf C)\times\mathbf B es de dirección y sentido iguales a C, se puede expresar de la siguiente manera:

(\mathbf B\times\mathbf C)\times\mathbf B=\left |  \mathbf B \right |^2 . \mathbf C

Identidad que, multiplicada escalarmente por el vector A, coincide con (2).

\therefore \, x = \mathbf A\cdot\mathbf C

Para averiguar y se sigue un proceso análogo, en el cual se efectúa en (1) el producto escalar por el vector C:

\mathbf C\cdot[\mathbf A\times(\mathbf B\times\mathbf C)]=\mathbf C\cdot(\mathbf B x+\mathbf C y)
\mathbf A\cdot[(\mathbf B\times\mathbf C)\times\mathbf C]=\left | \mathbf C \right |^2 y

En este punto cabe destacar una diferencia importante, que se deduce de la imagen. Nótese que el vector (\mathbf B\times\mathbf C)\times\mathbf C es opuesto a B. Esto implica:

-\mathbf A\cdot \mathbf B\left | \mathbf C\right |^2=\left | \mathbf C \right |^2 y\quad\rightarrow\quad y=-\mathbf A\cdot\mathbf B

Reemplazamos x e y en (1) y obtenemos la fórmula de doble producto vectorial para B y C paralelos.

(*)\mathbf A\times(\mathbf B\times\mathbf C)=\mathbf B(\mathbf A\cdot\mathbf C)-\mathbf C(\mathbf A\cdot\mathbf B)\quad

Fórmula general[editar]

Considerando ahora un vector B, ya no necesariamente perpendicular a C, se puede descomponerlo en dos componentes diferentes, una perpendicular y otra paralela a C.

\mathbf B = \mathbf B' + \mathbf C k\quad\mathbf B' \bot \mathbf C , k \in \mathbb R

Se efectúa el doble producto vectorial y se lleva a la forma (*):

\mathbf A \times (\mathbf B \times \mathbf C)=\mathbf A \times [(\mathbf B' + \mathbf C k) \times \mathbf C]=\mathbf A \times (\mathbf B' \times \mathbf C + \mathbf C k \times \mathbf C)=\mathbf A \times (\mathbf B' \times \mathbf C)

De modo que se puede desarrollar de esta manera:

\mathbf A \times (\mathbf B' \times \mathbf C)=\mathbf B' (\mathbf A \cdot \mathbf C)- \mathbf C (\mathbf A \cdot \mathbf B')

Ahora, tenemos \mathbf B = \mathbf B' + \mathbf C k\Rightarrow\mathbf B' = \mathbf B - \mathbf C k. Reemplazamos en la fórmula anterior y desarrollamos.

\mathbf B' (\mathbf A \cdot \mathbf C)- \mathbf C (\mathbf A \cdot \mathbf B') =
(\mathbf B - \mathbf C k)(\mathbf A \cdot \mathbf C)-\mathbf C [\mathbf A \cdot (\mathbf B - \mathbf C k)]=

=\mathbf B (\mathbf A \cdot \mathbf C) - \mathbf C k (\mathbf A \cdot \mathbf C) - \mathbf C (\mathbf A \cdot \mathbf B - \mathbf A \cdot \mathbf C k)=\mathbf B (\mathbf A \cdot \mathbf C) - \mathbf C k (\mathbf A \cdot \mathbf C) -\mathbf C (\mathbf A \cdot \mathbf B) + \mathbf C (\mathbf A \cdot \mathbf C k)= =\mathbf B (\mathbf A \cdot \mathbf C)\cancel{-\mathbf C k (\mathbf A \cdot \mathbf C)}-\mathbf C (\mathbf A \cdot \mathbf B)\cancel{+\mathbf C k (\mathbf A \cdot \mathbf C)}

\therefore\ \mathbf A\times(\mathbf B\times\mathbf C)=\mathbf B(\mathbf A\cdot\mathbf C)-\mathbf C(\mathbf A\cdot\mathbf B)

Esta última identidad coincide con (*) y vale para cualquiera sean A, B y C.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

Enlaces externos[editar]

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