Cancion de Pares e impares

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En matemática, un número par es un número entero que se puede escribir de la forma: 2k, donde k es un entero (los números pares son los múltiplos del número 2).

Los números enteros que no son pares, se llaman números impares (o nones), y se pueden escribir como 2k+1.[1]

Los números pares son:


   \mathrm{pares} =
   \{ \; ...,\; -4,\; -2,\; 0,\; 2,\; 4,\; 6,\; 8,\; ... \; \}

y los impares:


   \mathrm{impares} =
   \{ \; ...,\; -5,\; -3,\; -1,\; 1,\; 3,\; 5,\; 7,\; ... \; \}

La paridad de un número entero se refiere a su atributo de ser par o impar.[2] Comparativamente, dos números son «de la misma paridad» si al dividirlos entre 2, el resto es el mismo, por ejemplo: 2 y 4, o 3 y 7; son «de la misma paridad». Por el contrario los números 23 y 44 son «de distinta paridad».

Reconocimiento[editar]

Si la base de numeración utilizada es un número par (por ejemplo, base 10 o base 8), podremos reconocer un número par si su último dígito también es par

Por ejemplo, el siguiente número en base 10:


   {352107706}_{10}

es par ya que su último dígito: 6, también es par.

Lo mismo sucede con el siguiente número en base 6:


   {2145301354}_{6} =
   {23211718}_{10}

Si la base del sistema de numeración es impar, ( 3, 5, etc), el número será par si el número de dígitos con cifra impar es par, en cualquier otro caso el número será impar.

Por ejemplo, en base 3:


   {120}_{3} =
   {15}_{10}

es impar, dado que el uno es la única cifra impar, mientras que:


   {321}_{5} =
   {86}_{10}

Como el 3 y el 1 son impares, hay un número par de cifras impares y el número es par.

Paridad del cero[editar]

El cero es un número par, cumple con la definición así como con todas las propiedades de los número pares.

Propiedades aritméticas[editar]

Los números pares tienen las siguientes propiedades con respecto a los impares:

  1. par + par = par
  2. par + impar = impar
  3. impar + impar = par
  4. par. par = par
  5. par. impar = par
  6. impar. impar = impar

Para demostrarlas, tendremos en cuenta que cualquier número par puede ser escrito como 2n y cualquier número impar como 2n + 1, siendo n un número entero.

  1. P_1 + P_2 = 2a + 2b = 2(a + b) = 2n
  2. P_1 + I_1 = 2a + 2b + 1 = 2(a + b) + 1 = 2n + 1
  3. I_1 + I_2 = 2a + 1 + 2b + 1 = 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1) = 2n
  4. P_1 \cdot P_2 = 2a \cdot 2b = 2 (2 \cdot a \cdot b) = 2(c) = 2n
  5. P_1 \cdot I_1 = 2a \cdot (2b + 1) = 2a \cdot 2b + 2a = 2c + 2a = 2 (c + a) = 2n
  6. I_1 \cdot I_2 = (2a + 1) \cdot (2b + 1) = 2a \cdot 2b + 2a + 2b + 1= 2c + 2a + 2b + 1 = 2 (c + a + b ) + 1 = 2n + 1
  1. La potencias de base par son pares y recíprocamente si una potencia es par su base es par[3]
  2. El resto de la división de un número par entre un número par es par; nada se colige del cociente que puede tener cualquier paridad.

Propiedades con respecto a la divisibilidad[editar]

  • Dos números enteros consecutivos tiene paridad diferente.
  • Dados tres enteros consecutivos, dos serán de la misma paridad y uno de ellos será necesariamente de paridad distinta de los otros dos.

Tipos especiales de números pares[editar]

Tipos especiales de números impares[editar]

  • Los números primos, con la única salvedad del 2, que es par. Se trata de aquellos números naturales que no tienen otros divisores más que ellos mismos y el 1.
    • Los números primos de la forma \ 4\cdot n + 1 , con n un número natural cualquiera, se descomponen de una única manera en suma de dos cuadrados de números enteros. Esto fue estudiado por Fermat y permite que ese primo sea la hipotenusa de un triángulo rectángulo diofántico o diofantino. Estas últimas dos palabras se refieren a triángulos con lados enteros positivos en honor a Diofanto de Alejandría, quien estudió los problemas en los que interesa obtener soluciones enteras.
    • Los primos de la forma \ 4\cdot n + 3 no pueden expresarse como suma de dos cuadrados enteros, pero sí como diferencia de cuadrados. La raíz cuadrada del cuadrado mayor, o minuendo de la diferencia, es igual a \ 2 (n + 1 ) , donde n es el mismo natural que aparece en la expresión del número primo.

Definiciones en desuso[editar]

En el libro 7 de los Elementos de Euclides[4] (definiciones 8 a 10) vienen definidas unas clases de números que, aunque hoy en desuso, han sido citadas de forma recurrente en libros históricos de matemáticas.

  • Número parmente par, pariter par o propiamente par «es el medido por un número par según un número par». Sería, por tanto, el producto de dos números pares (todos son múltiplos de 4).
  • Número parmente impar o pariter impar «es el medido por un número par según un número impar», es decir, el producto de un número par por un número impar.
  • Número imparmente impar, impariter impar o propiamente impar «es el medido por un número impar según un número impar», es decir, el producto de dos números impares.

Observaciones:

  • En estas definiciones, el 1 no cuenta como número,[5] [6] por lo que los números imparmente impares son exactamente los números impares compuestos. Estos son los números que se emplean en la criba de Sundaram para hallar números primos: un número primo será todo número impar (con la consabida excepción del 2) que no esté en la criba de Sundaram.
  • Algunos números se consideran tanto parmente pares como parmente impares. Por ejemplo, 24 es igual a 6 por 4, así que es parmente par; pero también es igual a 3 por 8, con lo que es parmente impar.

Algunas fuentes, tales como Dorado contador. Aritmética especulativa y práctica (1794)[7] y el más reciente Enjambre matemático,[8] utilizan otra definición para los números parmente pares: no se trata de los que son productos de dos pares, sino de los que sólo se pueden expresar como producto de dos pares (exceptuando, por supuesto, el producto de sí mismos por uno). Según esta definición, los números parmente pares son exactamente las potencias de 2. Asimismo, definen el número parmente impar como el múltiplo de una potencia de 2 por un número impar e introducen el concepto, ausente en la obra de Euclides,[8] de número imparmente par como un número que es doble de un número impar. La definición del número imparmente impar no sufre variación.

El libro Llave aritmética y algebrayca[9] utiliza las primeras definiciones y explica el caso de que haya números que son simultáneamente parmente pares y parmente impares. Esta definición, además, queda reforzada en la proposición 32 del libro 9 de los Elementos,[4] que explica así: «Cada uno de los números (que es continuamente) duplicado a partir de una díada es solamente un (número) parmente par».

Divisibilidad par[editar]

Sea el conjunto de los pares 2Z = {0, 2, 4, 6, 8, 10,...2n..., n cualquier natural}.[10]

Sean a b, c elementos de 2Z, se dirá que a |p b si existe c tal que b = ac. También se dice que b es divisible parmente[11]
Por ejemplo 8 | 16 pues 16 = 2·8
Primo en 2Z

el elemento a es primo en 2Z si no existe un elemento de 2Z que lo divida. Por ejemplo 6, 10, pues no hay elemento de 2Z que lo dividan parmente.

  • Los primos de 2Z son el producto de los impares por 2 únicamente.
Divisores de un número

Fuera de los primos en sentido par, los otros números tienen más de dos divisores

para el caso 24 tiene como divisores 2, 4, 6, 12, 8 no es divisor parmente de 24.
Divisores comunes

48 y 32 tienen como divisores comunes 2, 4, 8, 16 no, porque no divide parmente a 48[12]

Máximo común divisor parmente[editar]

El mayor de los diviores comunes de dos elementos de 2Z se llama máximo común divisor

Por ejemplo m.c.d. (32,48) = 8

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Weisstein, Eric W. «Número par» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
  2. Weisstein, Eric W. «Paridad» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
  3. Cualquier texto de análisis matemático al hablar de la irracinalidad de \sqrt{2}
  4. a b Los Elementos, versión bilingüe en griego e inglés (disponible en PDF)
  5. "(El uno no era considerado como un número impar, sino más bien como el origen de todos los números.)" (Dantzig, Tobías (1971). Capítulo III: La Ciencia de los Números, del libro: "El Número. Lenguaje de la Ciencia", Buenos Aires, Editorial Hobbs Sudmericana S. A.,páginas 49,53. Cita de la página 53)
  6. Esto provenía de una doctrina oculta vinculada al sacerdocio pagano. El uno representaba a la divinidad antes del acto creador. El primer número era el dos, la dualidad creadora, que permite percibir por medio de la diferenciación. Para esos seres humanos todo se creaba de a pares opuestos: luz-oscuridad; sí-no; masculino-femenino. La unidad primigenia era indiscernible. De aquí proviene la verdadera razón por la que el número uno no es considerado un número primo. La definición elemental de número primo es: «Primo es aquel número natural que solamente es divisible por sí mismo y por la unidad». Algunas personas objetan por qué 1 no es primo basándose en que no hay razón lógica que se pueda oponer para negar que 1 cumple con esa definición. La razón es que originariamente el número 1 no era considerado un número. Aunque a posteriori se pudieran agregar otros motivos, el comienzo de todo está en esta concepción mística primitiva de los números, en una tradición olvidada.
  7. de Santa Cruz, Miguel Gerónimo (1794). Dorado contador. Aritmética especulativa y práctica.. Madrid: Imprenta de don Benito Cano. pp. 4–6. 
  8. a b Rodríguez Vidal, R. Enjambre matemático. Reverté. pp. 73–75. 
  9. Poy y Comes, Manuel (1790). Llave aritmética y algebrayca. Barcelona: Impresor de S.M., Calle de la Paja. pp. 4–6. 
  10. Ruiz Arango: Teoría de los números
  11. El símolo |p, léase "divide parmente"
  12. Ruiz Arango. Ibídem
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