Series de Taylor Ejemplo - FisicaCiencia En HD - En español

Canal: FisicaCiencia   |   2011/12/05
Play Video
1
Series de Taylor Ejemplo - FisicaCiencia En HD - En español
Series de Taylor Ejemplo - FisicaCiencia En HD - En español
::2011/12/05::
Play Video
2
Grings - Série de Taylor e MacLaurin aula 12
Grings - Série de Taylor e MacLaurin aula 12
::2013/09/24::
Play Video
3
Série de Taylor
Série de Taylor
::2012/07/03::
Play Video
4
Serie de Taylor - Leonardo Machado Cavalcanti.MP4
Serie de Taylor - Leonardo Machado Cavalcanti.MP4
::2011/01/31::
Play Video
5
Series de Taylor (Maclaurin)-Parte 1
Series de Taylor (Maclaurin)-Parte 1
::2012/04/26::
Play Video
6
Series de Taylor
Series de Taylor
::2014/02/19::
Play Video
7
Series de Taylor y Maclaurin 1/3 - Trailer
Series de Taylor y Maclaurin 1/3 - Trailer
::2013/06/06::
Play Video
8
Series de taylor y maclaurin (2011)
Series de taylor y maclaurin (2011)
::2011/05/04::
Play Video
9
Serie de Taylor
Serie de Taylor
::2013/05/02::
Play Video
10
Series de Taylor y McLaurin
Series de Taylor y McLaurin
::2014/02/11::
Play Video
11
Series de taylor y maclaurin. Ejemplos
Series de taylor y maclaurin. Ejemplos
::2011/05/05::
Play Video
12
Series de Taylor y Maclaurin
Series de Taylor y Maclaurin
::2009/08/06::
Play Video
13
Serie de taylor del seno. (Parte 1)
Serie de taylor del seno. (Parte 1)
::2009/08/06::
Play Video
14
Série de Taylor: fórmula para o resto
Série de Taylor: fórmula para o resto
::2013/02/19::
Play Video
15
Metodos Numericos para Ingenieros (Desarrollo de la Serie de Taylor (e^x))
Metodos Numericos para Ingenieros (Desarrollo de la Serie de Taylor (e^x))
::2012/04/19::
Play Video
16
Serie de Taylor ejemplo utilizando Matlab
Serie de Taylor ejemplo utilizando Matlab
::2013/06/01::
Play Video
17
Ejercicio14 (C++) - SERIE DE TAYLOR
Ejercicio14 (C++) - SERIE DE TAYLOR
::2014/03/27::
Play Video
18
ESME010 3 Diferenciales 8 Ejemplos de Series de Taylor
ESME010 3 Diferenciales 8 Ejemplos de Series de Taylor
::2012/04/01::
Play Video
19
Série de Taylor no Maple
Série de Taylor no Maple
::2012/07/03::
Play Video
20
Série de Taylor (Erros de Trucamento)
Série de Taylor (Erros de Trucamento)
::2011/08/14::
Play Video
21
Serie de Taylor de la exponencial.
Serie de Taylor de la exponencial.
::2009/08/06::
Play Video
22
Ejercicio14 (JAVA) - SERIE DE TAYLOR
Ejercicio14 (JAVA) - SERIE DE TAYLOR
::2013/01/09::
Play Video
23
Series de taylor- Series de Potencia Metodos Prácticos1
Series de taylor- Series de Potencia Metodos Prácticos1
::2012/12/14::
Play Video
24
Series de Taylor (Maclaurin)-Parte 2
Series de Taylor (Maclaurin)-Parte 2
::2012/04/26::
Play Video
25
Series de Taylor para Coseno en 0 (Maclaurin)
Series de Taylor para Coseno en 0 (Maclaurin)
::2013/01/07::
Play Video
26
Visualizando series de Taylor para e^x
Visualizando series de Taylor para e^x
::2013/01/08::
Play Video
27
Combinação, Permutação e Série de Taylor.wmv
Combinação, Permutação e Série de Taylor.wmv
::2011/10/03::
Play Video
28
Desarrollo en serie de Taylor. Mac Laurin. Lagrange
Desarrollo en serie de Taylor. Mac Laurin. Lagrange
::2011/12/07::
Play Video
29
CALCULAR ERROR POLINOMIO SERIE TAYLOR
CALCULAR ERROR POLINOMIO SERIE TAYLOR
::2012/04/30::
Play Video
30
Desarrollo de polinomio en serie de potencias - Taylor
Desarrollo de polinomio en serie de potencias - Taylor
::2013/08/05::
Play Video
31
Serie de Taylor del Seno. (Parte2)
Serie de Taylor del Seno. (Parte2)
::2009/08/06::
Play Video
32
Série de Taylor de cosinus en 0 (Maclaurin)
Série de Taylor de cosinus en 0 (Maclaurin)
::2014/05/14::
Play Video
33
Series de Taylor y Maclaurin 3/3 - Trailer
Series de Taylor y Maclaurin 3/3 - Trailer
::2013/06/06::
Play Video
34
Ejercicio15 (C++) - SERIE DE TAYLOR MODIFICADA
Ejercicio15 (C++) - SERIE DE TAYLOR MODIFICADA
::2014/03/29::
Play Video
35
Ejercicio14 (C#) - SERIE DE TAYLOR
Ejercicio14 (C#) - SERIE DE TAYLOR
::2014/03/14::
Play Video
36
Série de Taylor de sinus en 0 (Maclaurin)
Série de Taylor de sinus en 0 (Maclaurin)
::2014/05/14::
Play Video
37
Visualiser la série de Taylor pour e puissance x
Visualiser la série de Taylor pour e puissance x
::2014/05/14::
Play Video
38
Aproximación generalizada en series de Taylor
Aproximación generalizada en series de Taylor
::2013/01/07::
Play Video
39
Serie de Taylor 2
Serie de Taylor 2
::2011/12/07::
Play Video
40
Series de Taylor (Maclaurin)-Parte 3
Series de Taylor (Maclaurin)-Parte 3
::2012/04/26::
Play Video
41
CN - Série de Taylor Exer - Jeyson Cruz
CN - Série de Taylor Exer - Jeyson Cruz
::2013/07/10::
Play Video
42
Serie de taylor calculo integral
Serie de taylor calculo integral
::2012/05/11::
Play Video
43
Módulo_11_2012_1_Parte_4 - Série de Taylor para exp(x)
Módulo_11_2012_1_Parte_4 - Série de Taylor para exp(x)
::2012/06/23::
Play Video
44
Series de Taylor y Maclaurin 2/3 - Trailer
Series de Taylor y Maclaurin 2/3 - Trailer
::2013/06/06::
Play Video
45
Ejercicio15 (JAVA) - SERIE DE TAYLOR MODIFICADA
Ejercicio15 (JAVA) - SERIE DE TAYLOR MODIFICADA
::2013/01/09::
Play Video
46
Clase en Cartagena99. Serie de Taylor
Clase en Cartagena99. Serie de Taylor
::2014/02/13::
Play Video
47
Extrait : Expansion en série de TAYLOR & Applications
Extrait : Expansion en série de TAYLOR & Applications
::2011/07/15::
Play Video
48
Cómo calcular Con la Serie de Taylor
Cómo calcular Con la Serie de Taylor
::2014/03/21::
Play Video
49
ESME010 3 Diferenciales 7 Serie de Taylor
ESME010 3 Diferenciales 7 Serie de Taylor
::2012/04/01::
Play Video
50
CALCULO DE INTEGRALES DE FUNCIONES EXPRESADAS CON SERIE DE TAYLOR
CALCULO DE INTEGRALES DE FUNCIONES EXPRESADAS CON SERIE DE TAYLOR
::2014/04/05::
SIGUIENTE >>
RESULTADOS [51 .. 101]
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda
A medida que aumenta el grado del polinomio de MacLaurin, se aproxima a la función. Se ilustran las aproximaciones de MacLaurin a sen(x), centradas en 0, de grados 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.
La gráfica de la función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1 términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).

En matemáticas, una serie de Taylor es una representación de una función como una infinita suma de términos.
Estos términos se calculan a partir de las derivadas de la función para un determinado valor de la variable (respecto de la cual se deriva), lo que involucra un punto específico sobre la función. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, se le denomina serie de McLaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:

  • la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;
  • se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función;
  • es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como serie de Laurent.

Definición[editar]

La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:

f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots

que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente sumatoria:

\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}\,,

donde:

  • n! es el factorial de n y
  • f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f para el valor a de la variable respecto de la cual se deriva.

La derivada de orden cero de f es definida como la propia f y tanto (xa)0 como 0! como  1 (0! = 1). En caso de ser a = 0, como ya se mencionara, la serie se denomina también de Maclaurin.

Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en a de la forma \sum^{}_{}a_n(x-a)^n siempre se puede hacer el cambio de variable z=x-a (con lo que x=z+a en la función a desarrollar original) para expresarla como \sum^{}_{}a_nz^n centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar la función f(x)=x\ln x alrededor de a = 1 se puede tomar z=x-1, de manera que se desarrollaría f(z+1)=(z+1)\ln(z+1) centrada en 0.

Historia[editar]

El filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para lograr un resultado finito, pero lo descartó por considerarlo imposible: el resultado fueron las paradojas de Zenón. Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica a la paradoja, pero el contenido matemático de esta no quedó resuelto hasta que lo retomaron Demócrito y después Arquímedes. Fue a través del método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito.[1] Independientemente, Liu Hui utilizó un método similar cientos de años después.[2]

En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos similares fueron dados por Madhava de Sangamagrama.[3] A pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno, coseno, tangente y arcotangente.

En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. Pero en 1715 se presentó una forma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quién recibe su nombre.

Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin, un profesor de Edinburgo, quién publicó el caso especial de las series de Taylor en el siglo XVIII.

Función analítica[editar]

Si una serie de Taylor converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor.

Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

Se suele aproximar una función mediante un número finito de términos de su serie de Taylor. El Teorema de Taylor facilita la estimación cuantitativa del error de dicha aproximación. Se denomina polinomio de Taylor al número finito de los términos iniciales de la serie de Taylor de una función. La serie de Taylor de una función es, en caso de existir, el límite del polinomio de Taylor de esa función. Una función puede no ser igual a la serie de Taylor ni siquiera convergiendo tal serie para cada punto. Una función igual a su serie de Taylor en un intervalo abierto (o un disco en el plano complejo) se denomina función analítica..

Series de Maclaurin (Taylor alrededor del numero 0) notables[editar]

La función coseno.
Una aproximación de octavo orden de la función coseno en el plano de los complejos.
Las dos imágenes superiores unidas.

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de x.

Función exponencial y logaritmo natural[editar]

e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad, \forall x; n \in \mathbb{N}_0
\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1

Serie geométrica[editar]

\frac{a}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} ax^n\quad\mbox{ para } \left| x \right| < 1

Funciones trigonométricas[editar]

\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad, \forall x
\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad, \forall x
\tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad, \mbox{ para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
Donde Bs son los Números de Bernoulli.
\sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
\csc{x}=\sum_{n=1}^\infty{\frac{2(2^{2n-1}-1)B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\quad\mbox{, para } 0<\left |{x}\right |< \pi
\arcsin x = \sum^{\infin} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1
\arctan x = \sum^{\infin} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1

Funciones hiperbólicas[editar]

\sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad , \forall x
\cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad , \forall x
\tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{\pi}{2}
\sinh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1
\tanh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{, para } \left| x \right| < 1

Función W de Lambert[editar]

W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{, para } \left| x \right| < \frac{1}{e}

Los números Bk que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Números de Bernoulli. Los valores C(α,n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales. Los Ek del desarrollo de sec(x) son Números de Euler.

Varias variables[editar]

La serie de Taylor se puede generalizar a funciones de d variables:


\sum_{n_1=0}^{\infin} \cdots \sum_{n_d=0}^{\infin}
\frac{\partial^{n_1}}{\partial x_1^{n_1}} \cdots \frac{\partial^{n_d}}{\partial x_d^{n_d}}
\frac{f(a_1,\cdots,a_d)}{n_1!\cdots n_d!}
(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d} =

\sum_{n=0}^{\infty} {1 \over n!} \sum_{n_1+\cdots+n_d=n} {n \choose n_1 \cdots n_d} {\partial^n 
f(a_1,\cdots,a_d) \over \partial x_1^{n_1} \cdots \partial x_d^{n_d}} 
(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d},

donde {n \choose n_1 \cdots n_d} es un coeficiente multinomial. Como ejemplo, para una función de 2 variables, x e y, la serie de Taylor de segundo orden en un entorno del punto (a, b) es:

f(x,y) \,
\approx f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b) \,
+ \frac{1}{2}\left( f_{xx}(a,b)(x-a)^2 + 2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b) + f_{yy}(a,b)(y-b)^2 \right). m

Un polinomio de Taylor de segundo grado puede ser escrito de manera compacta así:


T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T \nabla f(\mathbf{a}) + \frac{1}{2} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T \nabla^2 f(\mathbf{a}) (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots

donde \nabla f(\mathbf{a}) es el gradiente y \nabla^2 f(\mathbf{a}) es la matriz hessiana. Otra forma:


T(\mathbf{x}) = \sum_{|\alpha| \ge 0}^{}{\frac{\mathrm{D}^{\alpha}f(\mathbf{a})}{\alpha !}(\mathbf{x}-\mathbf{a})^{\alpha}}

Aplicaciones[editar]

Además de la obvia aplicación de utilizar funciones polinómicas en lugar de funciones de mayor complejidad para analizar el comportamiento local de una función, las series de Taylor tienen muchas otras aplicaciones.

Algunas de ellas son: análisis de límites y estudios paramétricos de los mismos, estimación de números irracionales acotando su error, teorema de L'Hopital para la resolución de límites indeterminados, estudio de puntos estacionarios en funciones (máximos o mínimos relativos o puntos sillas de tendencia estrictamente creciente o decreciente), estimación de integrales, determinación de convergencia y suma de algunas series importantes, estudio de orden y parámetro principal de infinitésimos, etc.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Kline, M. (1990) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press. pp. 35-37.
  2. Boyer, C. and Merzbach, U. (1991) A History of Mathematics. John Wiley and Sons. pp. 202-203.
  3. «Neither Newton nor Leibniz - The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala». MAT 314. Canisius College.

Enlaces externos[editar]

Licencias para uso de contenido de Wikipedia: GFDL License
Powered by YouTube