ÁLGEBRA - Cómo determinar si un conjunto es o no subespacio vectorial (1)

Canal: rattus2010   |   2012/10/29
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En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que V..

Definición subespacio vectorial[editar]

Sea V_{}^{} un espacio vectorial sobre K_{}^{} y  U \subset V no vacío, U_{}^{} es un subespacio vectorial de V_{}^{} si:

i)\;\; \forall u,v \in U, u+v \in U
ii)\; \forall u \in U, \forall k \in K, ku \in U

Consecuencias[editar]

  • Un subespacio vectorial que cumple las dos condiciones anteriores es un espacio vectorial.
Demostración
i) permite el cumplimiento de la propiedad conmutativa y asociativa.

ii) permite el cumplimiento de la propiedad asociativa, elemento neutro y propiedad distributiva respecto las dos operaciones.

Luego para el elemento neutro de la suma éste se puede obtener como  0\cdot u , que  u +0\cdot u = (1+0)\cdot u = u y lo mismo para el elemento opuesto de la suma obtenido como  (-1)\cdot u , ya que  u + (-1)u = (1-1)\cdot u = 0.

Notaciones

Dado F\, un subespacio vectorial, se tiene:

Para i) el abuso de lenguaje F+F \subset F, e incluso F+F=F es correcto.

Demostración
Se quiere ver que  \forall w\in F+F \Leftrightarrow w\in F:
\Rightarrow ) w\in F+F \Rightarrow \exists u,v \in F : w=u+v \Rightarrow w \in F.
\Leftarrow ) w\in F \Rightarrow w=w+\vec{0} \Rightarrow w\in F+F

Para ii) el abuso de lenguaje  \lambda F \subset F , e incluso \lambda F = F,\;\;\forall \lambda \in K-\{0\} es correcto.

Demostración
 w\in F \Leftrightarrow \frac{1}{\lambda} w \in F \Leftrightarrow \lambda \frac{1}{\lambda} w \in \lambda F \Leftrightarrow w \in \lambda F

Criterio de verificación[editar]

Es posible sintetizar i) y ii) en una condición única:

Si V es un espacio vectorial, entonces un subconjunto no vacío U de V es un subespacio vectorial si y sólo si para cualesquiera dos vectores v, w pertenecientes a U y cualesquiera escalares r y s pertenecientes al cuerpo asociado, el vector  rv + sw es también un elemento de U.

Ejemplos[editar]

Dado el espacio vectorial \mathbb{R}^2, sus elementos son del tipo  (a,b) \in \mathbb{R}^2.

El subconjunto

U=\{ (a,b) : a+b = 0 \}.

es un subespacio vectorial.

Demostración
Por definición de U los elementos son de la forma x =(x_1, -x_1).



   \begin{matrix}
      Suma & +: & {\mathbb{R}^2 \times{} \mathbb{R}^2}            & \longrightarrow{} & {\mathbb{R}^2} &\\
           &    & {(\mathbf{u},\mathbf{v})} & \mapsto           & {(u_1,-u_1)+(v_1,-v_1)}&=((u_1+v_1),-(u_1+v_1))
   \end{matrix}



   \begin{matrix}
      Producto & \cdot{}: & {K \times{} V}            & \longrightarrow{} & {V} &\\
               &          & {( a,\mathbf{u})} & \mapsto           &  a \cdot (u_1,-u_1)&=((a\cdot u_1),-(a\cdot u_1))
   \end{matrix}


como las operaciones están bien definidas entonces que U es en sí mismo un espacio vectorial, es decir, satisface las condiciones de subespacio vectorial de \mathbb{R}^2.

El subconjunto

C=\{(a,b) : b = a^2 \}

no es un subespacio vectorial.

Demostración
Nuevamente sólo es necesario verificar tres condiciones: la pertenencia del vector nulo y la cerradura de ambas operaciones.

El vector nulo (0, 0) sí es un elemento de C puesto que 0 = 0².

Sin embargo, ni la suma ni el producto son cerrados:

  • Los vectores (1, 1) y (2, 4) son elementos de C, pero su suma (1, 1) + (2, 4) = (3,5) no lo es, puesto que 5 no es igual a 3².
  • El vector (2, 4) es un elemento de C, pero al multiplicarlo por el escalar 2 se obtiene (4, 8) que no es un elemento de C puesto que 8 no es igual a 4².

Operaciones con subespacios[editar]

Sea (V, +, K, *) un espacio vectorial; (S, +, K, *) y (W, +, K, *) subespacios de V, se definen las siguientes operaciones:

Unión[editar]

S \cup W = [X \in V / X \in S  \vee X \in W]
En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es un subespacio de V, pues no se cumple con la ley de composición interna. pertenece de forma segura la unión a V en los casos en que S este contenido en W o viceversa.

Intersección[editar]

S \cap W = [X \in V / X \in S \land X \in W]
La intersección de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma[editar]

S + W = [X \in V / X = (X_1 + X_2) \wedge X_1 \in S \wedge X_2 \in W]
La suma de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma directa[editar]

Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".[1]
Es decir que si S \cap W = \vec{0} \Rightarrow S  \oplus W
Lo que quiere decir también que todo vector de V, se escribe de manera única como la suma de un vector de S y otro de W.

Dimensiones de subespacios[editar]

Esta fórmula resuelve que la dimensión de la suma de los subespacios S y W será igual a la dimensión del subespacio S más la dimensión del subespacio W menos la dimensión de la intersección de ambos.

Por ejemplo, siendo \dim(S)=3 y \dim(W)=2 y teniendo como intersección un subespacio de dimensión 1.
Luego, \dim(S + W) = 4.

En la suma directa[editar]

En el caso particular de la suma directa, como S \cap W = \vec{0} \Rightarrow \dim(S \cap W) = 0.
La fórmula de Grassmann resulta:

\dim(S \oplus W)=\dim(S)+\dim(W)

Entonces en el ejemplo anterior, resultaría \dim(S \oplus W)=5.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. "Álgebra II" Armando O. Rojo. Editorial "El Ateneo". Buenos Aires.
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